Matematiğin Temelleri Üzerine Düşünmek -Mehmet Uysal

Derlerse ki; matematiğin temellerinin bilgisi neye yarar

, yenilir mi içilir mi, bundan ne çıkar? Deriz ki; matematiğin temelleri bilgisinden, aklımızın sonsuz kapsama ve etkime olanağını bilmek, bundan da doğamızdaki sonsuz yaşam aşkıyla sonsuz yaşam peşinde koşmak yaşam-anlamı çıkar. 

Burada iki resim var.

Ancak ikisini aynı anda

göremezsiniz. Birisini mutlaka

“sıfırlar”,  yani “hiç” edersiniz.

Bir aritmetik kitabını açtığınızda şöyle ifadeler okursunuz. Doğal sayılar kümesinin eleman sayısı sonsuzdur. Sonsuz sayıda asal sayı vardır. Çift/tek sayılar kümesinin eleman sayısı sonsuzdur. Devirli kesirlerin devri sonsuza uzanır. Pi sayısının ondalık kesir olarak ifadesi sonsuza uzanır… Bütün bu sonsuza uzanan sayılar (1) sayısından türetilir. Başka bir deyişle, aritmetiğin temeli (1) sayısıdır. Bütün sayılar (1)’den türerse (1) neyden türer ya da (1) nasıl tanımlanır? Yazımızın sorusu “Matematiğin temelleri üzerine düşünmek” olduğuna göre, bir de matematiğin diğer kolu olan geometriye bakalım.

Geometri derslerinden hatırlarsınız; geometrik şekiller belli sayıdadır. Acaba kare, dikdörtgen, üçgen (eşkenar, dik, ikizkenar, kaç-çeşit-kenar), paralelkenar, yamuk, eşkenar dörtgen ve daireden; küp, dikdörtgenler prizması, kare prizma, koni, piramit, silindir ve küreden başka geometrik şekil yok mudur? Acaba çokgenlerin kenar sayısı nerede biter de ondan sonra daire nerede başlar? Acaba konilerin tepesini tabanına paralel bir düzlem ile kese kese ne zaman daireye; kare, üçgen, dikdörtgen piramitlerin tepesini kese kese ne zaman kareye, üçgene, dikdörtgene; silindirleri kese kese ne zaman daireye ulaşabiliriz? Ya konileri, piramitleri, silindirleri tabanlarına paralel olmayan “gayrimuntazam” düzlemlerle kesersek kaç çeşit geometrik şekil elde ederiz? İlaveten, geometrik şeklini  çizemeyeceğimiz dağ, ağaç, ot, insan, hayvan, bakteri, virüs, yıldız, galaksi vs.  cisim var mıdır? Öyleyse ortaya kaç çeşit geometrik şekil çıkar? Ayrıca, bütün bu –sonsuz- geometrik şekillerin “büyüklük” ve “küçüklük” sınırı var mıdır? Ancak asıl sorun, geometrik şekillerin sayısının sınırsızlığında değil, tıpkı aritmetiğin dayandığı (1) gibi, geometrinin dayandığı “nokta”dadır. Geometrik düşünme nokta ile başlar. Noktalar yan yana eklenir “çizgi” olur. Çizgiler kırılıp, bükülüp eğrilip bitişerek “açılar”, “düzlemler” oluşur. Düzlemler bitişir, “şekiller” oluşur. Geometri de çizgiler, açılar, düzlemler, şekillerin türlü halleri ve ilişkileri üzerine düşünmedir. Bütün geometri dünyası noktaya dayanıyorsa, bütün geometri nesneleri noktadan türüyorsa, nokta neyden türer?

“Aritmetiğin üzerine dayandığı (1) ve geometrinin üzerine dayandığı ‘nokta’ neyden türer?” sorusu, bizi matematiğin temellerini araştırmaya götürür.

Bir an için, bu soruyu cevaplandıramadığımızı, böylece matematiği temellendiremediğimizi varsaysak ve tanımları yapılamadığı için aritmetikten (1)’i, geometriden de noktayı çıkararak, altındaki temeli çekip alsak, acaba matematik çöker mi? Aritmetikten (1)’i, geometriden de noktayı çıkarırsak, matematik çökmez; geriye “sıfır” diye bir şey kalır. Çünkü, (1)’den türeyen bütün aritmetik dünyasını (1) parantezine, noktadan türeyen bütün geometri dünyasını da nokta parantezine alıp, “temelsiz” kaldığını varsaydığımız matematiği, “matematiksel yöntemle” yok etmek için, (1’)’den (1)’i, noktadan da noktayı çıkardığımızda, geriye sıfır kalır. Matematiği “matematiksel yöntemle” tamamen yok edebilmek için bu sıfırı da yok etmemiz; bunun için de sıfırdan kendisini çıkarmamız gerekir. Ancak bunu asla başaramayız. Çünkü, sıfırdan kendisini, sonsuz kere sonsuz kere sonsuz da çıkarsak, geriye sıfır, yine kalır yine kalır yine kalır, hep kalır. İşte matematik kendisinin yok edilmesine böyle direnir. Öyle ya; sıfır da matematik bir nesne ise, ancak bizim sıfırı yok etmemiz de mümkün değilse, matematik yok olmuş sayılır mı? Sıfır bir matematik nesne ise, ne yaparsak yapalım sıfırı bir türlü yok edemiyorsak, matematiği de yok edemiyoruz demektir. Öte yandan, sıfırı bir türlü yok edemiyorsak, bunun sonucunda ortada –sıfırdan ibaret de olsa- matematik diye bir şey kalıyorsa, ayrıca, aritmetik ve geometri dünyası bütün azametiyle karşımızda duruyorsa, acaba matematiği dayandırmak için aradığımız temel sıfır mıdır? Acaba matematik sıfıra mı dayanmaktadır? Eğer matematik sıfıra dayanıyorsa, aritmetiğin türediği (1) ile sıfır ve geometrinin türediği nokta ile sıfır arasında öyle bir ilişki olmalıdır ki, sıfırdan (1) ve nokta, onlardan da sayılar ve şekiller dünyası türeyebilsin. Bu durumda, sıfır üzerinde epeyce durup düşünmemiz, sıfır ile (1) ve nokta arasındaki bağlantıyı araştırıp ortaya koymamız gerekiyor.

Sıfır, “var-olmayan”dır. Peki “var-olmayan” nedir? Söz olarak telaffuz ettiğimize göre, aklımızın içinde  var-olmayan diye bir nöronik yapılanma ve bu yapılanmayı gösteren bir kavram var demektir. Aklımızın içinde,  var-olmayan kavramının maddi-biyolojik  karşılığı olan bir nöronik yapılanma olduğu için, biz onu düşünebiliyoruz. Bununla birlikte, var-olmayanı biz düşünemeyiz de. Öyle ya, “Var-olmayan nasıl bir şeydir, yenilir mi içilir mi?” diye sorulsa, var-olmayan nasıl gösterilebilir, bu soruyu hangi babayiğit cevaplandırabilir? Öyleyse var-olmayan, hem düşünülebilen hem de düşünülemeyen bir şeydir. Var-olmayan dediğimiz, hem düşünülebilen hem de düşünülemeyen şeyin adı “hiçlik”tir.[1] Peki, o düşünülebilir bir şey de olduğuna göre, biz hiçliği, yani var-olmayanı nasıl düşünebiliyoruz?

Var-olmayan, aklımıza, hemen “var-olan”ı çağrıştırıp, düşündürür. Demek ki biz, var-olmayanı, var-olana göreceli olarak düşünürüz. Var-olmayanın, var-olana göreceli olarak düşünülmesi, bir kıyaslama işlemidir. “Kıyas” ise aklımızın temel mantık formu olup, en ilkelinden en gelişmişine, en eğitimlisinden en eğitimsizine  kadar, aklı başında olan her insanda mevcuttur.  Bütün mantık formları, temel form olan kıyastan türer. Biz bildiğimiz istisnasız her şeyi kıyas yoluyla biliriz. Başka bir deyişle, her şey bir başka şey(ler)e göreceli olarak bir şey olur.  Sıfırdan birin ve noktanın türemesi de böyledir. Başka bir deyişle, (1)  ve nokta, sıfıra göreceli olarak var olur.

Önce sıfırın nasıl düşünülebildiğini, sıfırın nasıl elde edildiğini ortaya koyalım.  Sıfırın elde edilmesini sağlayan şey, aklımızın içindeki “merak duygusu”dur. Akıllarımız, duygu ve mantık sisteminden oluşur. Aklın duygulanma sisteminin en uç halkası merak duygusu olup, aklı harekete geçiren ve hareket halinde tutan şey, merak duygusudur. Akıllarımız, gözün gördüğü, kulağın işittiği her şeyi merak eder, her şeyi bilmek ister. Aklın merak duygusu, gözleriyle görüp kulaklarıyla işiterek düşünme konusu yapıp bildiği şeylerle yetinemez, hep düşünülmüş, bilinmiş olanlar ufkunun ötesine yönelir. Çünkü ola ki düşünülmüş olanlar ufkunun ötesinde de bir şeyler olup bitmektedir ve bu olup bitmekte olan şeyler, insanın yaşamı için önemli olabilir. Merak duygusuyla ufuklardan daha ileri ufuklara doğru koşarken, akıl öyle bir noktaya gelir ki, bu noktadan ötesi hep düşünülemeyendir. Bu noktadan ötesini ne kadar düşünmeye çalışırsa çalışsın düşünemez. Bu noktada akıl hiçlik ile karşı karşıya kalmıştır. Hiçliğin “ötesi” hep hiçlik hep hiçlik hep hiçliktir. Bizim matematikte “0” ile gösterdiğimiz şey, “var-olmayan”dan, yani hiçlikten başka bir şey değildir. Bunu görebilmek için, aysız, bulutsuz yaz gecelerinde, kent ışıklarından uzakta, bir dağ başında ya da bir deniz kenarında, gözlerinizi gökyüzüne çevirip ışıl ışıl yanıp sönen yıldızları seyre dalın. Bu seyir sürerken bir de bakarsınız ki gördüğünüz gökyüzünün ötesini düşünmeye başlamışsınız. Ancak gördüğünüz gökyüzünün ötesini düşünmekte ısrar ederseniz, düşünemez olursunuz, aklınızın başınızdan çıkacağı duygusuna kapılırsınız.  İşte size, düşünemez olduğunuzu, aklınızın başınızdan çıkacağı duygusunu hissettiren şey hiçlikten başka bir şey değildir. Çünkü hiçlik “düşünülebilen düşünülemeyen”dir. Bu “mutlak hiçlik”tir. Biz sadece aysız, bulutsuz yaz gecelerinde gökyüzünü izlerken değil, her türlü izleme, gözleme eylemi yaparken de farkında olmayarak hiçliği yaşarız. Çünkü akıllarımız pasif bir “izlenim alıcı” değil, aktif bir “izlenim seçici”dir. Akıllarımız, bazı izlenimleri, diğerlerini “hiç ederek” seçer. Türdeş bir nesne grubunu, örneğin elmaları  0, 1, 2,… diye sayarken  (0) sözcüğünü telaffuz etmekle, armutları ve elma dışındaki bütün nesneleri dışlamış, yani hiç etmiş oluruz. Ancak, şeyler arasında görecelilik ilişkileri kurarken yaşadığımız hiçlik, mutlak değil “göreceli hiçlik”tir. Çünkü seçip üzerine odaklandığımız şey, başka şey(ler)e odaklandığımızda hiçlik olabilir. Örneğin elmayı düşünürken armut, armudu düşünürken de elma hiçlik olabilir.  Matematikçiler düşünme eylemi sırasında yaşadığımız; mutlak ve göreceli hiçliğe (0) demişler. Peki sıfırdan, (1) ve nokta, onlardan da sayılar ve şekiller dünyası nasıl türer?

Bu türemeyi sağlayan şey de, aklı sıfır noktasına ulaştıran şeyden; merak duygusundan başkası değildir. Aklın içindeki merak duygusu, düşünülemeyen hiçliği de düşünüp bilerek, düşünülmemiş, bilinmemiş hiçbir şey bırakmamak için sürekli hiçliğin ötesine geçmeye çalışır. Ancak her hiçliğin ötesine geçme denemesinde, tıpkı peşinden koşuldukça uzaklaşan sevgili gibi, hiçlik ya da sıfır uzaklaşır da uzaklaşır. Merak duygusunun dürtmesiyle, hiçlik peşinde koşarken, akıl, görür ki bu asla bitmeyecek  bir kovalamaca olup, bu kovalamaca içinde, kendisi hep var kalmakta,  var oluşu  sonsuzauzanmaktadır.Böylece, bir tarafta adına “hiçlik” dediğimiz “var-olmayan”, bir tarafta da adına “varlık”dediğimiz “var-olan” yer alır.[2]Böylece akıl, hiçliğe, yani var-olmayana, yani sıfıra  göreceli olarak, sonsuz kapsama ve etkime olanağına sahip olan var-olanı, yani kendisini;varlığıgörür. Aklın, içindeki merak duygusunun dürtmesiyle, düşünülebilenler ufuklarının ötesine geçe geçe düşünülemeyen  ufkuna, hiçliğe gelip dayanması,  düşünülemeyeni de düşünülebilir kılmak, bunun için de ötesine geçebilmek için hiçliğin peşinde koşarken, hep uzaklaşan hiçlik ufkunun sonsuzluğa uzanması, böylece aklın sıfırı ve sıfıra göreceli olarak kendisinin sonsuz kapsama ve etkime olanağını keşfetmesi; işte matematiğin temeli budur. Aklın sonsuz kapsama olanağı geometrinin, sonsuz etkime olanağı da aritmetiğin temeli olup,  matematik aklın düşünme programından, aklın kendisinden başka bir şey olmayıp, hem geometri hem aritmetik sıfırdan türer. Görüldüğü üzere, bu düşüncelerimiz, alışılagelmiş matematik anlayışından farklıdır. Bu nedenle, geometri ve aritmetiğin sıfırdan nasıl türediği üzerinde biraz durmamız gerekiyor. 

Aritmetikte olduğu gibi, alışılagelmiş geometride (0) bulunmayıp, bütün geometrik nesneler noktadan türer. Nokta da “boyutsuz ve cisimsiz olarak geometrik  uzam içerisindeki herhangi bir yer” olarak tanımlanır. (Doğan Özlem, Mantık)  İlk bakışta “düşünülemez” gibi gelirse de, akıl, örneğin hiçlikte, eksi sayılarda  ve sanal sayılarda olduğu gibi, düşünülemeyeni  de düşünebilen bir şey olduğu için, “geometrik uzamda  hacimsiz ve kütlesiz bir yer”i, aklın düşünebileceği bir şey saymak gerekir. Bununla birlikte, nokta, “uzam”a göre tanımlandığı için, uzamın da tanımlanması gerekir. Doğan Özlem’den devam edelim. “Ve tüm geometrik uzam, böylece (Öklit geometrisinde) üç boyutlu bir uzam içerisinde yer alan noktalar evreni olarak tasarlanıp kurulmuş olur.” Bu ifade ile noktanın yukarıdaki tanımını birlikte değerlendirdiğimizde, nokta “uzam içinde bir yer”, uzam da “noktalar evreni” oluyor. Başka bir deyişle, önce nokta uzama göre tanımlanıyor, sonra uzam da noktaya göre tanımlanıyor. Ancak, bu tanıma göre, uzamı düşünmeden noktayı, noktayı düşünmeden de uzamı düşünemeyeceğimiz için, ortaya yumurta tavuk öyküsü gibi bir paradoks çıkıyor ve sonuçta nokta da uzam da tanımlanamıyor. Uzam ve nokta tanımlanamayınca, geometrinin kuruluşu nasıl mümkün olabilecek? Bu nedenle, ayrı bir eleştiri yazısı konusu olabilecek bu tanımı bir tarafa bırakıyoruz. Biz noktanın tanımında Kant’ın “uzay ve zaman aklın gözlükleridir” belirlemesinden hareket edeceğiz. Alışılagelmiş, yaygın anlayışa göre, uzay, bizim de içinde olduğumuz bütün evreni içine alan boşluktur. Ancak Kant’ın, bizim de taraftarı olduğumuz anlayışı bundan farklıdır. Bu farklılığı ortaya çıkarmak için, yaygın “uzay” anlayışına bir soru soracağız: evren uzayın içindeyse, uzay neyin içinde? Kant’a göre uzay aklın mekanı olup, her şey; bu çerçevede evrenin içinde yer aldığı boşluk da  aklın mekanının içindedir.  Bize göre de uzay, aklın kapsama alanı olup, bu alan sonsuza uzanır.Yukarıda gösterdiğimiz üzere, akıl, kendisinin sonsuz kapsama olanağını, hiçliğe, yani sıfıra göreceli olarak keşfeder ve bu keşfini  “uzay, hiçlik/sıfır-olmayandır” önermesi ile ifade eder. Demek ki uzay denince, alışılagelmişin tersine, bizim dışımızda, bizimle birlikte tüm evreni içine alan boşluğu değil, bizim sonsuz kapsama alanımızı anlamak gerekiyor. Devam edelim… Aklımızın kapsama alanının sonsuz olması nedeniyle, uzay bir bütün olup bölünemez. Uzayın bölünebilirliğini düşünmek, onun “sonsuzluk” belirleniminin tersine, “uzay sonludur” gibi –abes- bir sonuca yol açacağı için yanlıştır. Uzay bölünemez  olduğu için, “Bir”dir. (Büyük düşünür Parmenides’i saygıyla anıyorum.) Bu durumda, geometrinin başlangıcı, dayandırılması gereken temel de sonsuz ve bölünemez bir  bütün olan uzaydır. Geometri, uzay ile başlarsa, uzaydan, çizgilerin, düzlemlerin, açıların, şekillerin türetilerek, üzerine tüm geometrinin kurulduğu noktayı nasıl türetebiliriz? Aklımızın uzayı öylesine esnektir ki, her şeyi bir kabuk gibi sararak içine alabilir ve sarıp içine aldığı her şeyin şeklini alabilir, böylece bütün evreni içine alabilecek kadar genişleyebileceği gibi en küçük parçacığı içine alabilecek kadar da büzülebilir. İşte nokta, bu büzülme ile elde edilir. Aklın “boyutsuz ve cisimsiz olarak geometrik  uzam içerisindeki herhangi bir yer” olarak noktayı düşünebilmesi, aklın “akıl almaz” esnekliğinden kaynaklanır. Uzayımızı “sonsuz küçük”e kadar büzdüğümüzü düşünerek elde ettiğimiz nokta, eski uzay anlayışında olduğu gibi, “uzamın içinde boyutsuz ve cisimsiz bir yer” olmayıp,  ne kadar büzülürse büzülsün hep bölünmez bütün olan uzayın kendisidir. Böylece geometrinin temeli olan noktayı tanımlayabileceğimiz noktaya gelmiş bulunuyoruz.  Nokta, sonsuz küçüğe kadar büzülmüş uzaydır. Alışılagelmiş geometri anlayışında (0) yoktur. Ancak, ortaya koyduğumuz üzere; hiçliği ya da onun matematiksel simgesi olan (0)’ı düşünmeden uzayı, uzayı düşünmeden de noktayı düşünmek mümkün değildir. Bu nedenle, (0), geometride de üstü örtülü olarak vardır. Noktayı bu şekilde temellendirip, tanımladıktan sonra, noktadan sonsuz çeşitlilikte ve büyüklükte çizgi, açı, düzlem, şekil elde  etmek, bunların çeşitli hallerini ve ilişkilerini incelemek geometricilerin işidir. Şimdi aritmetik ile devam edelim.

“ 1(Bir) aritmetikte, kendisi olan ve kendisinden başka bir şey olmayan tekili simgeleyen asal ilk ve doğal ilk sayı olarak tanımlanır.” (Doğan Özlem, Mantık)  Yukarıda, “Uzay bölünemez  olduğu için, ‘Bir’dir.” demek suretiyle, aritmetiğe bir giriş yapmış olduk. Aslında akıl, geometrik ve aritmetik etkinliğini aynı anda ve birlikte gerçekleştirir; şeyleri kapsamına alıp sararken, onları aynı anda sayar da. Hiçliğe göreceli olarak, sonsuz kapsama ve etkime olanağına sahip olan kendisini görerek, kendisini sarması aklın geometrik etkinliği, sardığı kendisinin bölünemezliğini görüp “Bir” diyerek sayması da aklın aritmetik etkinliğidir. Peki, sonsuz büyüklükte, bölünemez bütün olan bu “Bir”den, sayılar dünyasını oluşturan sayısız (1) nasıl türer? Yukarıda geometriyi anlatırken, “Aklımızın uzayı öylesine esnektir ki, her şeyi bir kabuk gibi sararak içine alabilir ve sarıp içine aldığı her şeyin şeklini alabilir, böylece bütün evreni içine alabilecek kadar genişleyebileceği gibi en küçük parçacığı içine alabilecek kadar da büzülebilir.” demiştik.İşte,sayılar dünyasındaki sayısız (1), aklın uzayının yapabileceği sayısız büzülme ve genişleme hareketi sırasında oluşur. Akıl, ister en küçük parçacığı sarmak için büzülmüş, ister en büyük galaksiyi, evreni sarmak için genişlemiş olsun, hep “bölünmez bir bütün olan uzay” ise, sarma ile birlikte yaptığı her sayma işlemi sırasında da “Bir”dir. Sınırsız sarma hareketi ve buna bağlı sınırsız sayma işlemi yapabileceği ve her sarma hareketi sırasında “bölünmez bir bütün” olacağı için, sınırsız sayıda tekillik, yani sınırsız sayıda (1) düşünülebilir. Ancak sınırsız sayıdaki (1)’lerin hepsi de aynı “Bir”dir; aklın kendisidir. Akıl da (1)’i (0)’dan türetir. Bu türetmenin sözsel  ifadesi “varlık, hiçlik–olmayandır” olup, simgesel ifadesi “1, 0-olmayandır” biçimindedir.  “Bir”i  bu şekilde temellendirip, tanımladıktan sonra, (1)’den sonsuz çeşitlilikte ve büyüklükte sayılar elde etmek, bunların çeşitli hallerini ve ilişkilerini incelemek aritmetikçilerin işidir.

Özetle, (0), nokta ve (1), hiçbir fizik karşılığı olmayan, salt aklın tasarladığı kurgusal nesneler olmayıp, aklın ta kendisi; temel formu “kıyas” olan aklın düşünme programıdır. Başka bir deyişle (0)’ın, (0)’dan türeyen nokta ve (1)’in ve nokta ve (1)’den türeyen şekiller ve sayılar dünyasının bir fizik karşılığı vardır:  o da akıldır.

Derlerse ki; matematiğin temellerinin bilgisi neye yarar, yenilir mi içilir mi, bundan ne çıkar? Deriz ki; matematiğin temelleri bilgisinden, aklımızın sonsuz kapsama ve etkime olanağını bilmek, bundan da doğamızdaki sonsuz yaşam aşkıyla sonsuz yaşam peşinde koşmak yaşam-anlamı çıkar. 

Mehmet Uysal